La deuxième phrase est correcte.
Ici « plein » est employé comme un adverbe et non comme un adjectif, et reste donc invariable. On reconnaît que « plein » a un rôle d’adverbe lorsque l’on peut le remplacer par « beaucoup ». On peut toutefois noter une difficulté avec cette règle : quand « plein » est placé avant le nom et son déterminant, il est toujours invariable, même s’il n’est pas synonyme de « beaucoup ». Exemple : « Elle écrivait avec des idées plein la tête. » Par contre, si l’on dit « Elle écrivait avec la tête pleine d’idées », « plein » est évidemment adjectif, synonyme de « rempli », et s’accorde.
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